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题目描述
你这个学期必须选修 numCourse 门课程,记为 0 到 numCourse-1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如,想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 ,我们用一个匹配来表示他们:[0,1]
给定课程总量以及它们的先决条件,请你判断是否可能完成所有课程的学习?
输入: 2, [[1,0]]
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要完成课程 0。所以这是可能的。
输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要先完成课程 0;并且学习课程 0 之前,你还应先完成课程 1。这是不可能的。
提示:
- 输入的先决条件是由边缘列表表示的图形,而不是邻接矩阵。
- 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
1 <= numCourses <= 10^5
分析
如果你是这个选课的学生,你会怎么做?(假设你非常勤奋从不摸鱼)
如果我希望把课程全部选完,我每次一定会从所有的不需要先修课程
或先修课程已经修过
的课程开始,看到最后是否可以选完所有课程。
转化为算法,就是
//while true
//1 找到不需要先修课程的课程
// 如果没有找到,将总课程数与计数器比较,相等输出true,不等输出false
//2 标记这个课程是学过的,并且更新所有依赖这一课程的课程的状态,计数器+1
说是这么说,实现起来还是比较难。
我们可以想到,对于每一门课程,维护其尚未选修的先修课程数量
,从而可以快捷地以O(n^2)实现上述算法。
代码
class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
int length = 0;
vector<int> indegree(numCourses, int(0));
for (int i = 0; i < numCourses; i++)
for (auto &j : prerequisites)
if (j[0] == i)
indegree[i]++;
while (length != numCourses) {
int newVertex = -1;
for (int i = 0; i < numCourses; i++)
if (indegree[i] == 0)
newVertex = i;
if (newVertex == -1)
return false;
indegree[newVertex] = -1;
length++;
for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++)
if (prerequisites[i][1] == newVertex)
indegree[prerequisites[i][0]]--;
}
return true;
}
};
拓扑排序
实际上,上述的算法属于图论算法中的拓扑排序算法。
拓扑排序算法解决了一个有向无圈图中节点的先后顺序问题。我们上述的尚未选修的先修课程数量
被称为节点的入度
,它表示指向该节点的未处理有向边的数量
。算法每次选择入度为零的节点,标记它(以免二次遍历,一般的做法是将它的入度减为负值)并将它放入输出数组中,然后将背离它的所有有向边指向的所有节点的入度-1。
这样的算法就称为拓扑排序,它的运行速度与节点个数的二次方成正比。
拓扑排序是一个广度优先算法的典型例子。