由一道算法题说说拓扑排序 木灵的炼金工作室

题目描述

你这个学期必须选修 numCourse 门课程,记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如,想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 ,我们用一个匹配来表示他们:[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件,请你判断是否可能完成所有课程的学习?

输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要完成课程 0。所以这是可能的。

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要先完成​课程 0;并且学习课程 0 之前,你还应先完成课程 1。这是不可能的。

提示:

  1. 输入的先决条件是由边缘列表表示的图形,而不是邻接矩阵。
  2. 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
  3. 1 <= numCourses <= 10^5

分析

如果你是这个选课的学生,你会怎么做?(假设你非常勤奋从不摸鱼)
如果我希望把课程全部选完,我每次一定会从所有的不需要先修课程先修课程已经修过的课程开始,看到最后是否可以选完所有课程。
转化为算法,就是

//while true
//1 找到不需要先修课程的课程
//  如果没有找到,将总课程数与计数器比较,相等输出true,不等输出false
//2 标记这个课程是学过的,并且更新所有依赖这一课程的课程的状态,计数器+1

说是这么说,实现起来还是比较难。
我们可以想到,对于每一门课程,维护其尚未选修的先修课程数量,从而可以快捷地以O(n^2)实现上述算法。

代码

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        int length = 0;
        vector<int> indegree(numCourses, int(0));
        for (int i = 0; i < numCourses; i++)
            for (auto &j : prerequisites)
                if (j[0] == i)
                    indegree[i]++;
        while (length != numCourses) {
            int newVertex = -1;
            for (int i = 0; i < numCourses; i++)
                if (indegree[i] == 0)
                    newVertex = i;
            if (newVertex == -1)
                return false;
            indegree[newVertex] = -1;
            length++;
            for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++)
                if (prerequisites[i][1] == newVertex)
                    indegree[prerequisites[i][0]]--;
        }
        return true;
    }
};

拓扑排序

实际上,上述的算法属于图论算法中的拓扑排序算法。
拓扑排序算法解决了一个有向无圈图中节点的先后顺序问题。我们上述的尚未选修的先修课程数量被称为节点的入度,它表示指向该节点的未处理有向边的数量。算法每次选择入度为零的节点,标记它(以免二次遍历,一般的做法是将它的入度减为负值)并将它放入输出数组中,然后将背离它的所有有向边指向的所有节点的入度-1。
这样的算法就称为拓扑排序,它的运行速度与节点个数的二次方成正比。
拓扑排序是一个广度优先算法的典型例子。


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