数值分析05 木灵的炼金工作室

由于突发恶疾住院若干天,出院之后沉迷アトリ -My Dear Moments-和萨特《存在与虚无》,故本篇记录时隔一整月.

本篇继续讨论函数插值的问题

函数插值法

在前述的两种插值法中,我们都构造了一个函数,使得至少在各个节点处与潜在的函数$f(x)$同值. 但如果我们想要通过插值函数$H(x)$来刻画$f(x)$更加深刻的性质,如一阶导数,那么前述的两种插值方法将难以胜任.

Hermite插值

我们试图找到某插值函数$H(x)$使得在$(n+1)$个点的点集上,有:

\[\forall i\in[0,n]: H(x_i)=y_i,H'(x_i)=y'_i\tag{5.1}\]

直观地,在$H(x)$中蕴含了更多的信息,这样一来就可能需要更多的自由度来承载这些信息,当然我们只有$(2n+2)$个约束条件,因此天然地,Hermite插值不可以也不会超过$(2n+1)$次.

基函数构造法

与在Lagrange插值法中作的工作相似,我们同样希望找到一组基,使得它满足这一问题中的要求:我们将上述的问题分开处理:

首先找到某一类函数$h_i(x)$,使得对于样本点集中的点$(x_j,y_j)$有:

\[h_i(x_j) = 0, j\not =i\] \[h_i(x_j) = 1, j=i\]

同时满足:它的一阶导数在样本点集上恒为$0$:

\[h_i'(x_j) \equiv 0\]

这样,我们即可使用$h(x)$来控制插值函数的函数值而不影响其导数.

同样地,我们试图找到$H_i(x)$,使得对于样本点集中的点$(x_j,y_j)$有:

\[H'_i(x_j) = 0, j\not =i\] \[H'_i(x_j) = 1, j=i\]

同时,它的原值应当在样本点集上恒为$0$:

\[H_i(x_j) \equiv 0\]

这样,我们即可使用$h(x)$来控制插值函数的一阶导数而不影响其原值.

幸运的是,数学家们创造性地发现了这组基的形式:

\[\left\{ \begin{aligned} & h_i(x) = [a+b(x-x_i)]l_i^2(x) \\ & a = 1 \\ & b = -2l_i'(x_i) \end{aligned} \right.\] \[\left\{ \begin{aligned} & H_i(x) = cl_i^2(x) \\ & c = 1 \end{aligned} \right.\]

其中,$l_i(x)$是关于$x_i$的Lagrange基:

\[l_i(x) = \frac{\prod_{j=0, j\not ={i}}^n(x-x_j)}{\prod_{j=0, j\not ={i}}^n(x_i-x_j)}\]

因此,在该方法中,每一个点-导数三元组$(x_i, y_i, y’_i)$生成一项

\[y_i[1-2l'_i(x_i)(x-x_i)]l_i^2(x)+y_i'(x-x_i)l_i^2(x)\]

由此可给出Hermite插值表达式:

\[H(x) = \sum_{i=0}^n \{y_i[1-2l'_i(x_i)(x-x_i)]l_i^2(x)+y_i'(x-x_i)l_i^2(x)\}\]

Hermite插值法拥有误差表达式

\[R_n(x) = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\omega_{n+1}^2(x)\]

这样的“函数值-导数”分别控制的方法有着更广阔的应用空间,如给出点集中部分拥有导函数值而其余没有,而这种形式的问题需要构造额外的基函数(如使用原基函数则待定参数数量过多),而构造这一基函数的过程需要较强的分析要求,故不建议使用基函数构造法. (课后作业习题9涉及到这一方法,可以试着做一下)

对于上述这种“不完全”的情况,误差表达式会有所变化,但总得来说,如果给出了$(n+1)$组原值条件,其中有$m$组限制了导数值(不妨设它们就是第$0\to(m-1)$个),则误差可以表示为

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+m+2)}(\xi)}{(n+1+m)!}\omega_{n+1}(x)\prod^{(m-1)}_{i=0}(x-x_i)\]

待定系数法

这种方法直接将$H(x)$显式地假设出来,再代入点集解方程组(5.1). 严格地来讲这种算法不能称之为方法,但在数据量较小时很好用.

降阶法

而面对稍多的数据时,待定系数法就不那么好用了. 因此我们试图通过某种方式来减少需要处理的自由度数:

我们先通过前述的插值法求出仅在原函数值上提供保证的插值函数:

\[N(x), s.t.\forall i\in[0,n], N(x_i) = y_i\]

明显地,Hermite插值函数与$N(x)$存在如下的关系:

\[H(x)-N(x) = P(x)\prod_{i=0}^n(x-x_i)\]

而此时,由于$H(x)$是$2n+1$阶多项式,而$N(x)$是$n$阶多项式,故$H(x)-N(x)$是$2n+1$阶多项式,故$P(n)$是$n$阶多项式.

此时再利用$H’(x_i)=y_i$对$P(n)$待定系数直球求解即可.

样条插值法

样条

对于一水平弹性木条,在若干点${x_0,x_1,x_2,…,x_n}$处施加垂直于其的外力,产生弯矩$M(x)$,由Euler–Bernoulli梁方程,每两点之间的弯矩$M(x)$与材料杨氏模量$E$、产生的惯性矩$I$与产生曲线的曲率$k(x)$有如下关系:

\[M(x)=EIk(x)=EI\frac{y''}{(1+y'^2)^{1.5}}\]

一般的梁难以发生大的弯曲,故$y’$接近于$0$,有:

\[M(x)\approx EIy''\]

而每两点之间没有额外的力,故产生的弯矩是线性的,故$y’‘$是一分段一次函数,故可以得知$y$是一拥有连续二阶导数的分段三次函数.

样条插值

因此设置第$i$点和第$(i+1),i\in[0,n]$点之间的函数表达式是$\phi_i=a_i+b_ix+c_ix^2+d_ix^3$,总共有$n$段曲线,产生$4n$个自由度. 接下来数数我们有什么条件:

  1. 插值条件,在$i\in[0,n]$时$\phi(x_i)=y_i$,$(n+1)$个
  2. 插值条件中有$(n-1)$个被两段曲线共用,属自由度的冗余,消除$(n-1)$个自由度(书上称为函数值连续条件)
  3. 一阶导数连续,在$(n-1)$个共用点上$\phi_i’(x_{i+1})=\phi_{i+1}’(x_{i+1})$,$(n-1)$个
  4. 二阶导数连续,在$(n-1)$个共用点上$\phi_i’‘(x_{i+1})=\phi_{i+1}’‘(x_{i+1})$,$(n-1)$个

如此,我们拥有$(4n-2)$个条件,明显不能解决$4n$个自由度的问题.

因此我们可以通过某些人为的限定来为其附加$2$个限定条件,而最佳的方式就是将其附加在未被连续性约束的两个边界点$x_0,x_n$上.

常用的方式有:

  1. 令$\phi’(x_0)=\phi’(x_n)=0$
  2. 令$\phi’‘(x_0)=\phi’‘(x_n)=0$,此时与工程中使用的样条之情况(边界弯矩为$0$)符合,称为自然三次样条

我们用自然三次样条为例,指出如何求解样条:

首先假定任意第$i\in[1,n-1]$段函数均有参数列表$a_i,b_i,c_i,d_i$,我们采取较为巧妙的”自底向上”方式以降低计算难度:

在每一段上,$\phi_i(x)$的二阶导数均是线性函数,易知在每一段上:

\[\phi_i''(x)=\phi''(x_i)\frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i}-\phi''(x_{i+i})\frac{x_i-x}{x_{i+1}-x_i}\]

为简化表达,我们约定新符号$h_i=x_{i+1}-x_i$,使用之前在“力学背景”中提到的弯矩$M_i$来代表$\phi(x_i)$:

\[\phi_i''(x)=M_i\frac{x_{i+1}-x}{h_i}-M_{i+1}\frac{x_i-x}{h_i}\]

为利用函数值条件,对上式执行两次积分,并适当调整积分常数的位置,得到:

\[\phi_i(x)=\frac{M_i}{6h_i}(x_{i+1}-x)^3-\frac{M_{i+1}}{6h_i}(x_i-x)^3+C(x-x_i)+D(x_{i+1}-x)\]

代入条件$\phi_i(x_i)=y_i,\phi_i(x_{i+1})=y_{i+1}$,解出上述积分常数:

\[\phi_i(x)=\frac{M_i}{6h_i}(x_{i+1}-x)^3-\frac{M_{i+1}}{6h_i}(x_i-x)^3+(\frac{y_{i+1}}{h_i}-\frac{M_{i+1}h_i}{6})(x-x_i)-(\frac{y_i}{h_i}-\frac{M_ih_i}{6})(x-x_{i+1})\]

有了这一方程,我们就只需求解出各个弯矩$M_i$,即可得解.

我们还有一个未用的条件,即$(n-1)$个导数的连续性条件:

对上述方程左右求导并令$\phi_{i-1}(x_i)=\phi_i(x_i)$,有

\[h_{i-1}M_{i-1}+2(h_i+h_{i-1})M_i+h_iM_{i+1}=\frac{6}{h_i}(y_{i+1}-y_i)-\frac{6}{h_i}(y_i-y_{i-1})\]

上述方程被称为三弯矩方程,其中$i\in[1,n-1]$. 我们令它是自然样条,即$M_0=M_n=0$,得到一方程组(为了简化表达,我们记$v_i=RHS$,$u_i=2(h_i+h_{i-1})$):

\[\begin{pmatrix} u_1 & h_1 & & & & & \\ h_1 & u_2 & h_2 & & & & \\ & h_2 & u_3 & h_3 & & & \\ \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & h_{n-3} & u_{n-2} & h_{n-2} & \\ & & & & h_{n-2} & u_{n-1} & h_{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_1\\ M_2\\ M_3\\ \vdots\\ M_{n-2}\\ M_{n-1}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \vdots\\ v_{n-2}\\ v_{n-1}\\ \end{pmatrix}\]

使用前述的”追赶法”解决之,即可得到样条插值函数.

函数逼近

函数逼近问题给出一目标函数$f(x)$,希望提出一(容易处理的)近似函数$\phi(x)$来代替$f(x)$,以近似刻画并简化对$f(x)$的诸多运算.

而插值问题是给出一系列点${(x_i, y_i)}$,希望提出一拟合函数$\phi(x)$以近似刻画这些点所隐含的函数关系$f(x)$.

函数逼近法的总体过程

  1. 提出近似函数$\phi(x)$的形式并预留一些待定系数${a_0, a_1, a_2,…}$
  2. 使用某种误差估计手段写出误差$E$关于上述待定系数${a_0, a_1, a_2,…}$的关系
  3. 通过最小化误差$E$求出${a_0, a_1, a_2,…}$

由于其有着便于计算的性质,我们通常使用多项式函数$\phi(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$来进行拟合,同时使用最小二乘法来描述误差.

在某些情况下,可能会将自变量$x$映射为其它的函数,如设置原型$y=a_0+a_1e^{x}+a_2e^{2x}$逼近,则可以对逼近点列进行变换如$(e^{x_0}, y_0)$.

最小二乘法

“最小二乘”是一种描述误差的尺度,即使用均方误差(假使在点集$P$上考察),其”误差泛函”表示如下:(注:仅仅是形式不同的事物不需要讨论多次,故此处的求和符号可以为离散求和,也可以为连续积分)

\[E[\phi_A(x)]=\sum_{(x,y)\in P}(f(x) - \phi(x))^2\]

我们找出某种手段来最小化这个$E$即可. 幸运的是,我们在针对“形式固定-系数待定”的多项式的讨论中不需要面对上述令人生畏的泛函,而可以将其转写为:

\[E(a_0,a_1,a_2,...,a_n) = \sum_{(x,y)\in P}[y-(\sum_{i=0}^na_ix^i)]^2\]

特别地,这种最小二乘意义下的误差是一串平方和,这意味着它必定有一个最小值,以下简单证明(这证明是我自己写的,虽然还挺漂亮的,但是可能有逻辑断裂可以跳过不看)

假定有一$(n+1)$个相互独立的自变量之函数:$f(a_0,a_1,a_2,…,a_n)=\sum_{i=0}^na_i^2$

易知$\forall i \in[0,n], i=0$时函数$f$取得极值,而此时其Hessian矩阵为$diag(2,2,2,2,…,2)$,明显是正定的,因此它在此处取最小值.

我们设置$A=(a_0,a_1,a_2,…,a_n)$,那么对于任一和$A$无关的$(n+1)$个向量$x_i$与标量$y_i(i\in[0,n])$,我们产生一个新的$(n+1)$维向量$(y_0+Ax_0,y_1+Ax_1,y_2+Ax_2,…,y_n+Ax_n)$,易知这个向量仅仅是将向量$A$在其空间内平移、放缩而未旋转,未实际改变该空间的拓扑性质,因此$f$在新的自变量列$(y_0+Ax_0,y_1+Ax_1,y_2+Ax_2,…,y_n+Ax_n)$下仍拥有一唯一最小值点.

而此时,$f$恰可以被写为$f(a_0,a_1,a_2,…,a_n) = \sum_{(x,y)\in P}[y-(\sum_{i=0}^na_ix^i)]^2$

$\blacksquare$

因此这提示了我们最小二乘法的解决策略:对于误差函数$E(a_0,a_1,a_2,…,a_n) = \sum_{(x,y)\in P}[y-(\sum_{i=0}^na_ix^i)]^2$,我们求:

\[\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial{E}}{\partial{a_0}} = -2\sum_{(x,y)\in P}(y-\sum_{j=0}^na_jx^j) \\ & \frac{\partial{E}}{\partial{a_1}} = -2\sum_{(x,y)\in P}(y-\sum_{j=0}^na_jx^j)x \\ & ... \\ & \frac{\partial{E}}{\partial{a_k}} = -2\sum_{(x,y)\in P}(y-\sum_{j=0}^na_jx^j)x^k \\ & ... \\ & \frac{\partial{E}}{\partial{a_n}} = -2\sum_{(x,y)\in P}(y-\sum_{j=0}^na_jx^j)x^n \\ \end{aligned} \right.\]

用更为通俗的方式展开之:

\[\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial{E}}{\partial{a_0}} = -2\sum_{(x,y)\in P}[y-(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)] \\ & \frac{\partial{E}}{\partial{a_1}} = -2\sum_{(x,y)\in P}[y-(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)]x \\ & ... \\ & \frac{\partial{E}}{\partial{a_k}} = -2\sum_{(x,y)\in P}[y-(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)]x^k \\ & ... \\ & \frac{\partial{E}}{\partial{a_n}} = -2\sum_{(x,y)\in P}[y-(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)]x^n \\ \end{aligned} \right.\]

令其全部为$0$以找到最小值,整理得到方程组

\[\left\{ \begin{aligned} & \sum_{(x,y)\in P}y = \sum_{(x,y)\in P}a_0+\sum_{(x,y)\in P}xa_1+\sum_{(x,y)\in P}x^2a_2+...+\sum_{(x,y)\in P}x^na_n \\ & \sum_{(x,y)\in P}xy = \sum_{(x,y)\in P}xa_0+\sum_{(x,y)\in P}x^2a_1+\sum_{(x,y)\in P}x^3a_2+...+\sum_{(x,y)\in P}x^{n+1}a_n \\ & ... \\ & \sum_{(x,y)\in P}x^ky = \sum_{(x,y)\in P}x^{k}a_0+\sum_{(x,y)\in P}x^{k+1}a_1+\sum_{(x,y)\in P}x^{k+2}a_2+...+\sum_{(x,y)\in P}x^{k+n}a_n \\ & ... \\ & \sum_{(x,y)\in P}x^ny = \sum_{(x,y)\in P}x^na_0+\sum_{(x,y)\in P}x^{n+1}a_1+\sum_{(x,y)\in P}x^{n+2}a_2+...+\sum_{(x,y)\in P}x^{2n}a_n \\ \end{aligned} \right.\]

写为矩阵形式则为:

\[MA=b\] \[M = \begin{pmatrix} \sum_{(x,y)\in P}1&\sum_{(x,y)\in P}x&\sum_{(x,y)\in P}x^2 & ... & \sum_{(x,y)\in P}x^n\\ \sum_{(x,y)\in P}x&\sum_{(x,y)\in P}x^2&\sum_{(x,y)\in P}x^3 & ... & \sum_{(x,y)\in P}x^{n+1}\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ \sum_{(x,y)\in P}x^k&\sum_{(x,y)\in P}x^{k+1}&\sum_{(x,y)\in P}x^{k+2} & ... & \sum_{(x,y)\in P}x^{k+n}\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ \sum_{(x,y)\in P}x^n&\sum_{(x,y)\in P}x^{n+1}&\sum_{(x,y)\in P}x^{n+2} & ... & \sum_{(x,y)\in P}x^{2n}\\ \end{pmatrix}\] \[b = \begin{pmatrix} \sum_{(x,y)\in P}y\\ \sum_{(x,y)\in P}xy\\ ...\\ \sum_{(x,y)\in P}x^ky\\ ...\\ \sum_{(x,y)\in P}x^ny \end{pmatrix}\]

此方程组被称为正则方程组. 它依据求和方式的不同,可以有两种表示形式,分别对应在离散点集上逼近和连续点集上逼近两种情况:

  1. 离散点集逼近:
\[M = \begin{pmatrix} \sum_{i=0}^m1&\sum_{i=0}^mx&\sum_{i=0}^mx^2 & ... & \sum_{i=0}^mx^n\\ \sum_{i=0}^mx&\sum_{i=0}^mx^2&\sum_{i=0}^mx^3 & ... & \sum_{i=0}^mx^{n+1}\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ \sum_{i=0}^mx^k&\sum_{i=0}^mx^{k+1}&\sum_{i=0}^mx^{k+2} & ... & \sum_{i=0}^mx^{k+n}\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ \sum_{i=0}^mx^n&\sum_{i=0}^mx^{n+1}&\sum_{i=0}^mx^{n+2} & ... & \sum_{i=0}^mx^{2n}\\ \end{pmatrix}\] \[b = \begin{pmatrix} \sum_{i=0}^my\\ \sum_{i=0}^mxy\\ ...\\ \sum_{i=0}^mx^ky\\ ...\\ \sum_{i=0}^mx^ny \end{pmatrix}\]
  1. 连续区间逼近
\[M = \begin{pmatrix} \int_a^b1dx&\int_a^bxdx&\int_a^bx^2dx & ... & \int_a^bx^ndx\\ \int_a^bxdx&\int_a^bx^2dx&\int_a^bx^3dx & ... & \int_a^bx^{n+1}dx\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ \int_a^bx^kdx&\int_a^bx^{k+1}dx&\int_a^bx^{k+2}dx & ... & \int_a^bx^{k+n}dx\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ \int_a^bx^ndx&\int_a^bx^{n+1}dx&\int_a^bx^{n+2}dx & ... & \int_a^bx^{2n}dx\\ \end{pmatrix}\] \[b = \begin{pmatrix} \int_a^bf(x)dx\\ \int_a^bxf(x)dx\\ ...\\ \int_a^bx^kf(x)dx\\ ...\\ \int_a^bx^nf(x)dx \end{pmatrix}\]

非多项式逼近,一般函数族

在上述的讨论中,我们设置逼近函数为$\phi(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$,即我们使用了函数族${1,x,x^2,…,x^n,…}$的某一线性组合来逼近目标函数$f(x)$,且逼近点集上的各个点有着相同的”重要程度”.

我们将这个过程推广开来:我们使用一般的函数族${\phi_0(x), \phi_1(x), \phi_2(x),…,\phi_n(x),…}$来刻画目标函数$f(x)$,且不同的逼近锚点$(x,y)$拥有不同的非负非全零(实际上权函数有严格的约束,但我们可以理解为非负非全零(反正不会考))的”重要性”权函数$\omega(x)$,那么,我们设置逼近函数为$\phi(x)=\sum_{i=0}^na_i\phi_i(x)$,在带权点集$P$下,其”最小二乘”尺度下的误差可以写作:

\[E(a_0,a_1,a_2,...,a_n) = \sum_{(x,y)\in P}\omega(x)[y-(\sum_{i=0}^na_i\phi_i(x))]^2\]

(推导过程简单,略)为了能使矩阵变得好看一点,我们简记$(A, B)=\sum_{(x,y)\in P}\omega(x)A(x)B(x)$则正则方程组可以写作

\[MA=b\] \[M = \begin{pmatrix} (\phi_0, \phi_0) & (\phi_0, \phi_1) & (\phi_0, \phi_2) & ...&(\phi_0, \phi_n)\\ (\phi_1, \phi_0) & (\phi_1, \phi_1) & (\phi_1, \phi_2) & ...&(\phi_1, \phi_n)\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ (\phi_i, \phi_0) & (\phi_i, \phi_1) & (\phi_i, \phi_2) & ...&(\phi_i, \phi_n)\\ \vdots & \vdots& \vdots &&\vdots \\ (\phi_n, \phi_0) & (\phi_n, \phi_1) & (\phi_n, \phi_2) & ...&(\phi_n, \phi_n)\\ \end{pmatrix}\] \[b = \begin{pmatrix} (\phi_0, f)\\ (\phi_1, f)\\ ...\\ (\phi_2, f)\\ ...\\ (\phi_n, f)\\ \end{pmatrix}\]

为了使得上述方程恰定,矩阵$M$须满秩,这对函数族提出了要求($iff$指“当且仅当”):

\[\sum_{i=0}^na_i\phi_i(x)=0\ \ iff.\forall i\in[0,n],a_i=0\]

这一性质被称为函数族”线性无关”.

正交函数族

解线性方程组是痛苦的,故我们对上述方程组可以作出更进一步的幻想:“如果矩阵$M$是一个对角矩阵就再好不过了”. 这样的幻想要求函数族$\phi_i$和权函数$\omega(x)$具有这样的性质:

\[\forall i,j\in[0,n]: i\not ={j}\iff\sum_{(x,y)\in P}\omega(x)\phi_i(x)\phi_j(x)=0\] \[\forall i\in[0,n]: \sum_{(x,y)\in P}\omega(x)\phi_i(x)\phi_i(x)=a_i>0\]

如有此性质,则称函数族${\phi_i}$在域$P$上关于权函数$\omega(x)$正交. 易知一正交函数族所导出的正则方程组之系数矩阵必满秩,故正则方程组必有唯一解.

特别地,若对于任意的$i$,上述$a_i=1$,则称其为正交-归一化函数族. 正交-归一化函数族不仅在函数逼近中出现,在诸多领域中均有应用(如量子化学中的本征波函数)

既然正交函数族如此好用,那么是否可以将设置出的简单的非正交函数族如${x^i}$转化为正交函数族呢?

构造正交函数族,Gram-Schmidt正交化方法

有一线性无关函数族${\phi_i(x)}$,重构一新的函数族${\Phi_i(x)}$:

\[\Phi_0(x) = \phi_0(x)\] \[\Phi_i(x) = \begin{vmatrix} (\phi_0, \phi_0) & (\phi_0, \phi_1) & ... & (\phi_0, \phi_{i-1}) & \phi_0(x)\\ (\phi_1, \phi_0) & (\phi_1, \phi_1) & ... & (\phi_1, \phi_{i-1}) & \phi_1(x)\\ \vdots & \vdots& &\vdots&\vdots \\ (\phi_i, \phi_0) & (\phi_i, \phi_1) & ... & (\phi_i, \phi_{i-1}) & \phi_i(x)\\ \end{vmatrix}\]

此时

\[(\Phi_i, \Phi_j)= \left\{ \begin{aligned} & 0,i\not ={j}\\ & \Delta_i, i=j \end{aligned} \right.\]

其中

\[\Delta_i = \begin{vmatrix} (\phi_0, \phi_0) & (\phi_0, \phi_1) & ... & (\phi_0, \phi_{i-1}) & (\phi_0, \phi_{i})\\ (\phi_1, \phi_0) & (\phi_1, \phi_1) & ... & (\phi_1, \phi_{i-1}) & (\phi_1, \phi_{i})\\ \vdots & \vdots& &\vdots&\vdots \\ (\phi_i, \phi_0) & (\phi_i, \phi_1) & ... & (\phi_i, \phi_{i-1}) & (\phi_i, \phi_{i})\\ \end{vmatrix}\]

课本151页给出了Gram-Schmidt正交化方法的一应用实例,在153页起给出了若干常用的正交函数族.


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